درجه نامعینی سازهها | از تشخیص اولیه تا تحلیل حرفهای

بخش 1
مبانی سازه معین و نامعین + استخراج فرمول DI
برای مطالعه لطفا کلیک کنید
سازه معین: تعداد مجهولات = تعداد معادلات مستقل تعادل
سازه نامعین: تعداد مجهولات > تعداد معادلات تعادل
در تحلیل سازههای صفحهای، ما فقط سه معادله تعادل مستقل داریم:
ΣFx=0
ΣFy=0
ΣM=0
اگر تعداد مجهولات عکسالعملها دقیقاً برابر ۳ باشد → سازه استاتیکی معین است.
اگر بیشتر از ۳ باشد → سازه استاتیکی نامعین است.
اما داستان به همین سادگی نیست…
چون در سازههای قابدار (Frame)، وجود حلقههای بسته و مفاصل داخلی باعث میشود تعداد معادلات تعادل مؤثر تغییر کند.
به طور مفهومی:
درجه نامعینی = تعداد مجهولات اضافی نسبت به معادلات تعادل مستقل
برای قابهای صفحهای رابطه کلی به شکل زیر استفاده میشود:
DI=(R+3K)-(C+3)
که در آن:
R = تعداد عکسالعملهای تکیهگاهی
k = تعداد حلقههای بسته (قابها یا کادرهای سازه)
C = تعداد معادلات شرط
عدد 3 = معادلات تعادل در صفحه (ΣFx, ΣFy, ΣM)
R را چگونه حساب کنیم؟
باید انواع تکیهگاه را دقیق بشناسیم:
نوع تکیهگاه مجهولات غلطکی 1 مفصلی 2 گیردار 3 گاهی دانشجو اشتباه میکند و فقط به شکل ظاهری نگاه میکند؛ در حالی که باید «محدودیت حرکتی» را بررسی کند نه اسم تکیهگاه را.
k چیست؟
k تعداد حلقههای بسته قاب است.
هر قاب بسته که اگر یکی از اعضایش حذف شود مسیر بسته باز شود → یک k محسوب میشود.
در تیرهای ساده k = 0
در قاب مستطیلی یک دهانه → k = 1
در قاب دو دهانه بسته → k = 2وجود هر حلقه بسته، ۳ معادله تعادل داخلی ایجاد میکند.
C چیست؟ (خیلی مهم)
C تعداد معادلات شرط است.
این معادلات از نقاطی میآیند که:
نیروهای داخلی خاصی منتقل نمیشوند
یا اعضا نسبت به هم مستقل رفتار میکنند
مثال کلاسیک:
اگر n عضو در یک مفصل به هم برسند:C=n−1
چون هر عضو میتواند مستقل دوران کند.
ک در ویدیو پیش رو تمامی این نکات رو با جزییات پرداختیم
بخش 2
معادلات شرط و رفتار مفصلها
برای مطالعه لطفا کلیک کنید
این بخش جایی است که خیلیها اشتباه میکنند.
مفصل دقیقاً چه چیزی را منتقل نمیکند؟
مفصل:
نیروی محوری را منتقل میکند
نیروی برشی را منتقل میکند
لنگر خمشی را منتقل نمیکند
پس: M(joint)=0
و همین صفر شدن لنگر، یک معادله شرط ایجاد میکند.
مثال مفهومی مهم
حالت ۱:
دو عضو با یک پین متصلاند
C = 1
حالت ۲:
سه عضو به یک مفصل
C = 2
اما نکته پنهان:
اگر اعضا به صورت یکپارچه ساخته شده باشند (بدون مفصل واقعی)
دیگر شرط دوران آزاد نداریم پس C کاهش پیدا میکند.
پس همیشه باید بپرسیم:
آیا این اتصال واقعاً مفصل است یا فقط در شکل مفصل دیده میشود؟
بررسی نیروها در مفصل
اگر در مفصل:
نیروی متمرکز وارد شود → شرط جدید ایجاد نمیکند
لنگر خارجی وارد شود → باید بررسی کنیم مفصل آن را تحمل میکند یا نه
اگر مفصل واقعی باشد → لنگر صفر میماند
درک این رفتار باعث میشود در محاسبه DI اشتباه نکنید.
بخش 3
فنرها و سیستمهای ترکیبی
برای مطالعه لطفا کلیک کنید
این بخش حرفهایتر است.
فنر یعنی «محدودیت جزئی».
1️⃣ فنر دورانی
اگر فنر دورانی در تکیهگاه باشد:
به طور کامل گیرداری نیست
پس باید آن را حذف کنیم
و یک مجهول به سیستم اضافه کنیم
یعنی DI یک واحد افزایش مییابد.
3️⃣ قانون طلایی تحلیل فنرها
هر محدودیتی که کامل نباشد → باید به صورت مجهول در تحلیل در نظر گرفته شود.
پس:
حذف محدودیت = افزایش درجه نامعینی
2️⃣ فنر انتقالی
اگر فنر انتقالی داخلی باشد:
میتوان آن را به صورت یک میله دو سر مفصل مدل کرد.
چرا؟
چون فقط نیروی محوری منتقل میکند.
📌 یک مثال جمعبندی مفهومی
فرض کنید سازهای داریم با:
یک تکیهگاه گیردار (3 مجهول)
یک مفصل (2 مجهول)
یک قاب بسته (k=1)
یک مفصل داخلی با 3 عضو (C=2)
محاسبه:
DI=(R+3K)-(C+3)
3= DI=((3+2)+3(1))-(2+3)
پس سازه سه درجه نامعین است.
یعنی سه مجهول اضافه داریم که با معادلات تعادل حل نمیشوند و باید از روشهای تحلیلی مثل:
روش نیرو
روش تغییرمکان
ماتریس سختی
استفاده کنیم.
بخش 4
کنیک جداسازی و رفتار فنرها
برای مطالعه لطفا کلیک کنید
تحلیل سازه از جایی حرفهای میشود که دیگر فقط به تکیهگاه صلب فکر نکنیم.
در دنیای واقعی، خیلی از اتصالات کاملاً گیردار یا کاملاً مفصلی نیستند؛
بین این دو حالت، یک رفتار میانی وجود دارد… و آن فنر است.
فنر یعنی سازه اجازه حرکت دارد، اما با مقاومت.
قدم اول: فنر دقیقاً چه میکند؟
اگر فنر انتقالی باشد
هر چقدر گره جابجا شود، فنر متناسب با آن نیرو تولید میکند.
رابطه آن ساده است:
نیرو = سختی × جابجایی
یا به شکل مهندسیتر:
F = k × Δ
یعنی اگر جابجایی صفر باشد → نیروی فنر هم صفر است.
پس این یک تکیهگاه صلب نیست، بلکه وابسته به تغییرشکل سازه است.
اگر فنر دورانی باشد
اینجا به جای جابجایی خطی، با چرخش سروکار داریم.
لنگر = سختی دورانی × زاویه دوران
M = kθ × θ
تفاوت مهم با مفصل اینجاست:
مفصل → لنگر را صفر میکند
فنر دورانی → لنگر را محدود میکند ولی صفر نمیکند
این تفاوت در تحلیل خیلی تعیینکننده است.
قدم دوم: تکنیک جداسازی قاب
حالا تصور کن یک قاب داریم:
سمت چپ تکیهگاه
سمت راست فنر به زمین متصل
اگر بخواهیم تحلیل کنیم، سادهترین راه این است که سازه را از محل اتصال جدا کنیم.
وقتی جدا میکنیم، در محل برش همیشه سه اثر داخلی ظاهر میشود:
نیروی محوری
نیروی برشی
لنگر خمشی
اما اگر آن محل مفصل باشد، لنگر صفر میشود.
پس فقط نیروی محوری و برشی باقی میماند.
این کار یک مزیت مهم دارد:
ما سازه پیچیده را تبدیل میکنیم به دو قطعه سادهتر که هر کدام جداگانه قابل بررسیاند.
چرا این فصل مهم است؟
چون این همان ذهنیتی است که بعدها در روش سختی و تحلیل ماتریسی استفاده میشود.
شما یاد میگیرید به جای حفظ کردن فرمول، رفتار عضو را بفهمید.
اگر این فصل را درست بفهمید، دیگر از سازههای دارای فنر نمیترسید.
بخش 5
تشخیص تیر و سادهسازی تحلیل
برای مطالعه لطفا کلیک کنید
این فصل یکی از ترفندهای طلایی تحلیل سازه است.
خیلی وقتها دانشجو بدون اینکه فکر کند، همه نیروها را مجهول میگیرد.
در حالی که اگر فقط یک سؤال ساده بپرسد، نصف مجهولات حذف میشود:
«آیا این عضو یک تیر است؟»
تیر یعنی چه؟
اگر عضوی افقی باشد
و نیروهای وارد بر آن عمودی باشند
آن عضو یک تیر خمشی محسوب میشود.
در این حالت چه اتفاقی میافتد؟
نیروی افقی داخلی نداریم
عکسالعمل افقی نداریم
نیروی محوری صفر میشود
یعنی عملاً فقط با برش و لنگر کار داریم.
این یعنی تحلیل سادهتر، سریعتر و تمیزتر.
یک مثال مفهومی
فرض کن یک تیر افقی داریم با چند نیروی عمودی.
اگر از وسط تیر برش بزنیم:
در مقطع فقط دو مؤلفه مهم داریم:
نیروی برشی
لنگر خمشی
چون نیروی افقی وجود ندارد،
نیروی محوری هم صفر است.
این تشخیص ساده باعث میشود معادلات کمتری بنویسیم و سریعتر به جواب برسیم.
تیر با مفصل داخلی
اگر وسط تیر یک مفصل داخلی داشته باشیم:
در محل مفصل:
لنگر صفر است
فقط نیروی برشی منتقل میشود
پس میتوانیم تیر را به دو بخش تقسیم کنیم و از هر طرف جداگانه تعادل بنویسیم.
این تکنیک در امتحانها فوقالعاده کاربردی است چون محاسبات را نصف میکند.
نکته طلایی این فصل
هر وقت دیدی:
عضو افقی است
بارها عمودیاند
قبل از شروع حل، نیروهای افقی را حذف کن.
این کار شاید ساده به نظر برسد، اما در سازههای بزرگ، تعداد مجهولات را به شکل چشمگیری کم میکند.
گام آخر
جمع بندی
برای مطالعه لطفا کلیک کنید
✔ تفاوت سازه معین و نامعین را توضیح دهید
✔ تعداد عکسالعملها را درست بشمارید
✔ مفصل واقعی را از اتصال صلب تشخیص دهید
✔ تعداد حلقههای بسته را تعیین کنید
✔ معادلات شرط را بشناسید
✔ درجه نامعینی قاب ساده را حساب کنید
✔ تکنیک های جداسازی سازه و تعریف تیر رو در حل مساله یاد گرفتید
دیدگاهتان را بنویسید